中南大学数学院
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.: 教学大纲 :.
 

科学计算与数学建模教学大纲

课程编号:13070162

课程名称:科学计算与数学建模 

英文名称:Scientific Computing & Mathematical Modeling

总学时:64

学  分:

先修课程要求:高等数学、线性代数

适应专业:全校理、工、医、经、管、文、法等专业

教材与主要教学参考书目(注:加*号的为指定教材或辅助教材)

[1]*郑洲顺,张鸿雁等,科学计算与数学建模,上海:复旦大学出版社,2011.

[2]*李庆扬,王能超,易大义.数值分析,通高等教育“十一五”国家级规划教材,北京:清华大学出版社,2008

[3] *姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版),北京:清华大学出版社,2007.

[4] 邓建中,刘之行.计算方法,西安:西安交通大学出版社,2001.

[5] 谭永基等.数学模型,上海:复旦大学出版社,1997.

[6] 韩旭里,万中.数值分析与实验,北京:科学出版社,2006年.

[7] 蔡大用,白峰杉.高等数值分析.北京:清华大学出版社,1998 

[8] 曹志浩,张玉德,李瑞遐.矩阵计算与方程求根.北京:高等教育出版社,1984 

[9] 李庆扬,关治,白峰杉.数值计算原理,北京:清华大学出版社,2000

[10]索尔(美)著.吴兆金,范红军译.数值分析,北京:人民邮电出版社,2010

[11]叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材 (1-5).长沙:湖南教育出版社,1993-2008 

[12]刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模.第二版.北京:北京师范大学出版社,2002 

[13]李尚志.数学建模竞赛教程.江苏:江苏教育出版社,1996 

[13]李大潜.中国大学生数学建模竞赛.北京:高等教育出版社,1998

[14] *李荣华,冯果忱.微分方程数值解法.第二版.北京:高等教育出版社,1989

[15]施妙根,顾丽珍.科学和工程计算基础.北京:清华大学出版社,1999

[16]郭金玉,张忠彬,孙庆云.层次分析法在安全科学研究中的应用[J].中国安全生产科学技术,2008,4(2):69-73

[17]陈义华.数学建模的层次分析法. 甘肃工业大学学报.1997,23(3):92-97

[18]郭亚军.综合评价理论、方法及应用.北京:科学出版社,2007

[19]韩中庚.数学建模方法及其应用. 北京:高等教育出版社,2005

[20]易丹辉.统计预测方法与应用-北京:中国统计出版社, 2004

[21]戢运丽.统计学原理.武汉:华中科技大学出版社,2006

[22]郑莉.现代统计学.北京: 中国纺织出版社,2000

[23]李国桂.统计学.北京:科学出版社,2004

[24]Burden R L, Faires J D. Numerical Analysis. 4th ed. Boston: Weder & Schmidt, 1989

[25]韩中庚.综合评价方法及其应用 海南数学建模培训  2006

[26]韩中庚.长江水质综合评价与预测的数学模型.工程数学学报,2005年,22(7): 65-75

[27]韩中庚.基于动态加权方法的水质综合评价模型.中国运筹学会第八届学术交流会中国运筹学会第八届学术交流会论文集,2006年

[28]徐国强著.《管理统计学》,上海财经大学出版社,1998

[29]原毅军,任曙明,梁艳,张国峰等编.《国际经济学》,机械工业出版社,2005年

[30]John H. Mathews and Kurtis D. Fink.Numerical Methods: Using Matlab, Fourth Edition, Prentice-Hall Pub. Inc., Upper Saddle River, NJ, 2004.

[31]Stoer J., Bulirsch R. .Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, Springer-Verlag, New York, 1992. 

[32]H. R. Schwarz.Numerical Analysis,A Comprehensive Introduction: With a Contribution by J. Waldvogel,Chichester: Wiley. 1989. 

[33]A. Ralston and P. Rabinowitz.A First Course in Numerical Analysis, Dover publication, 2001. 

[34]Cuyt A., Wuytack L. .Nonlinear Methods in Numerical Analysis, Elsevier Science Publishers B.V., 1987. 

[35]Richard L. Burden, J. Douglas Faires.Numerical Analysis (Seventh Edition), Brooks Pub. Co., 2001.

一、课程性质与任务

  “科学计算与数学建模”课程全面实施本科人才培养模式的改革,积极贯彻研究性教学和探索式学习的教育思想,将学习的自主权全面交给学生,关注学生的团队合作精神,提高学生的综合素质,培养创新拔尖人才,培养学生创新思维、创新意识和能力,将本课程建设与教学作为学生学习数学知识、培养学生的实践与创新能力,提高学生数学应用能力和综合素质的最佳结合点。 

  本课程教学的重要目标是提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。在该课程教学中全面训练学生运用数学工具建立数学模型、应用科学计算方法解决实际问题的技能技巧;突出学生自主学习和自主实践,实现课内课外、教学科研相结合,提高学生的科学计算能力、数学建模能力和科研论文写作能力,培养从事现代科研活动的能力和相关素质。 

  本课程作为全校各大类专业一门重要的基础课,与其他数学类课程相结合,目的是提高学生的数学文化素质、促进数学建模竞赛活动的开展,培养学生学习数学的兴趣、应用数学方法分析解决实际问题的意识和能力,形成良好的校园数学文化氛围。同时也为参加数学建模竞赛和创新实验项目研究的学生奠定了良好的数学基础、科学计算和数学应用能力。 

  本课程通过将科学计算与数学建模结合,以数学建模思想为主线贯穿教学过程,以科学计算理论和方法为基础融会数学建模思想与过程,通过课堂内数学建模实例分析和课程实践教学大纲要求及课外实践项目指导,使学生学会如何在适当的简化假设下运用合适的数学工具建立描述实际问题特征的数学模型,进行因果关系分析、科学计算、定量分析,以便更深刻地认识所研究的对象,使学生具备运用适当的数学工具去分析和解决实际问题的能力,以期达到“学数学用数学”的教学目的。 

二、课程基本要求

(1)结合数学基础课的教学内容,进一步突出培养学生运用现代数学理论、科学计算方法分析、解决实际问题的能力;

(2)教师教学过程中要始终以数学建模思想为主线,利用数学模型实例着重进行数学建模方法的讲解,引导科学计算的理论与方法讲授;

(3)学生按照课程实践教学大纲要求,根据课程课外实践项目指导书,在教师指导下完成数学建模与科学计算的综合实践, 重点进行数学建模、科学计算、科技论文写作的实践训练。

三、课程教学基本内容、目的和要求、重点与难点

第1章 科学计算与数学建模绪论

(1)基本内容

数学模型及其重要意义,数学建模的过程,数学建模的一般步骤,数学建模的重要意义;科学计算方法简介,计算机中数的浮点表示,误差的基本概念及误差分析的重要性,误差在算术运算中的传播,算法的数值稳定性。

(2)目的和要求

了解数学与科学计算的关系、数学建模的概念及意义、算法的收敛性和稳定性的概念;

理解误差概念、来源及种类、相对误差和绝对误差概念;

掌握误差的传播一般公式、数学建模过程及一般步骤;

熟练掌握算术运算的误差传播分析。

(3)重点与难点

重点:数学建模的概念,数学建模过程,误差概念及传播,算法的收敛性和稳定性的概念

难点:算法的收敛性和稳定性的概念,误差的传播分析

第2章  城市供水量的预测模型——插值与拟合算法

 (1)基本内容

城市供水量的预测问题,求函数近似表达式的插值法,求插值多项式的Lagrange法,插值余项,插值误差的事后估计法,求插值多项式的Newton法,求插值多项式的改进算法,分段低次插值,三次样条插值;求函数近似表达式的拟合法,城市供水量预测的简单方法,供水量增长率估计与数值微分,利用插值多项式求导数,利用三次样条插值函数求导,城市供水量预测。

(2)目的和要求

了解插值函数与插值函数类、差分与差商、分段低次插值的概念,以及加权最小二乘法、利用正交函数作最小二乘法拟合、数值微分方法;

理解插值函数、插值多项式的存在唯一性、曲线拟合、三次样条插值函数的概念;

掌握分段低次插值、利用插值多项式求导、利用三次样条插值函数求导方法,以及插值与拟合的区别;

熟练掌握多项式插值的余项、Lagrange插值法,Newton插值法及相应的余项表示式、三次样条插值函数的求法、曲线拟合的最小二乘法

(3)重点与难点

重点:插值函数,插值多项式的存在唯一性,插值余项,Lagrange插值法,Newton插值法,三次样条插值,曲线拟合的最小二乘法。

难点:插值多项式余项,三次样条插值函数的求法,加权最小二乘法的计算。

第3章  湘江流量估计模型——数值积分法

(1)基本内容

湘江水流量估计的实际意义,数值求积的必要性, 构造数值求积公式的基本方法,求积公式余项,求积公式的代数精度,求数值求积的Newton—Cotes方法Romberg(龙贝格)算法,Gauss(高斯)型求积公式与测量位置的优化选取。

(2)目的和要求

了解机械积分公式、插值型求积公式系数的计算、数值求积公式的收敛阶、步长的自动选择、Romberg算法的简化,Gauss积分概念、Gauss求积公式的构造、复合Gauss求积公式等知识和方法;

理解数值积分的必要性,数值积分公式的代数精度、Newton-Cotes积分、复合Newton-Cotes积分、Gauss积分等基本概念;

掌握数值求积公式的基本构造方法、插值型求积公式的余项、误差的事后估计方法,步长的自动选择、复合梯形法的递推算式、Gauss求积公式的应用;

熟练掌握插值型求积公式的误差分析、数值积分公式代数精度的计算、复合梯形公式,复合Simpson公式,复合Cotes公式,Romberg算法。

(3)重点与难点

重点:数值积分公式的基本构造方法、插值型求积公式及误差分析、数值积分公式的代数精度、复合梯形公式、复合Simpson公式、Romberg算法、Gauss积分法在工程实际中的应用。

难点:数值积分公式代数精度的概念、代数精度的计算、Romberg算法。

第4章 养老保险问题——非线性方程求根的数值方法

(1)基本内容

根的搜索范围,逐步搜索法,二分法,迭代法,Newton公式,Newton法及其收敛性,Newton法应用举例,弦截法与抛物法,多项式求值的秦九韶算法,养老保险问题数学模型的求解。

(2)目的和要求

了解非线性方程求根的Newton下山法,弦截法与抛物法,多项式求值的秦九韶算法,Newton迭代法的局部收敛性,Newton法对重根的处理;

理解迭代法的几何意义,Newton迭代法的几何意义;

掌握非线性方程求根的数学基础知识,利用逐步搜索法确定根的搜索范围,利用二分法计算非线性方程的根,迭代公式的构造;

熟练掌握迭代法收敛性分析,迭代计算过程,Newton迭代法。

(3)重点与难点

重点:根的搜索法,迭代公式的构造,Newton法及其应用,弦截法,抛物线法,多项式求值的秦九韶算法。

难点:迭代法的几何意义,迭代法的局部收敛性,Newton法的几何意义,Newton法的局部收敛性。

第5章  小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法

(1)基本内容

求解线性方程组的Gauss消去法,矩阵的三角分解,Gauss完全主元素消去法,Gauss列主元消去法,Gauss-Jordan消去法,矩阵的直接三角分解,平方根法,追赶法,向量与矩阵范数,谱半径,求解线性方程组的误差分析理论。

(2)目的和要求

了解求解线性方程组数值方法一般理论,Gauss完全主元素消去法,追赶法,向量与矩阵范数,谱半径,求解线性方程组的误差分析重要性;

理解求解线性方程组的Gauss消去法思想,矩阵的三角分解, Gauss-Jordan消去法求逆矩阵思想,矩阵的各种三角分解的条件,求解线性方程组的误差分析理论;

掌握求解线性方程组的 Gauss列主元消去法,Gauss-Jordan消去法,矩阵的直接三角分解,平方根法,求解线性方程组的误差分析方法;

熟练掌握各种条件下矩阵的三角分解技术,Gauss消去法求解线性方程组技术,误差分析方法。

(3)重点与难点

重点:矩阵的三角分解,Gauss列主元消去法,Gauss-Jordan消去法,平方根法,向量与矩阵范数,求解线性方程组的误差分析理论。

难点:各种条件下矩阵的三角分解技术,Gauss消去法求解线性方程组技术,误差分析方法。

第6章  回归问题——线性方程组求解的迭代法

(1)基本内容

线性方程组迭代法构造思想, Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,迭代法的收敛性充要条件和各种充分条件,误差分析,超松弛代法。

(2)目的和要求

了解线性方程组迭代法构造思想,线性方程组直接解法和迭代解法的应用环境;

理解迭代法的收敛性分析一般理论,各种迭代法的对比分析,误差分析方法;

掌握超松弛代法,迭代法的收敛性充要条件和各种充分条件,各种迭代方法的迭代矩阵构造,迭代法收敛性判别,迭代法的应用;

熟练掌握Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,迭代计算过程,迭代法收敛性分析。

(3)重点与难点

重点:线性方程组迭代法构造思想,Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,超松弛代法,误差分析方法。

难点:迭代法的收敛性充要条件和各种充分条件,迭代法的应用。

第7章 常微分方程数值解法简介

(1)基本内容

常微分方程模型举例,初值问题数值解法的推导方式及常用解法,求解初值问题的线性多步法,常微分方程边值问题的数值解法。

 (2)目的和要求

了解实际问题微分方程模型建立的基本方法,用数值积分法和待定系数法构造线性多步法思想,用Taylor展开法构造单步高阶方法的思想,一阶方程组和高阶方程的初值问题,常微分方程边值问题的试射法,常微分方程边值问题的差分法及差分法的收敛性;

理解常微分方程的初值问题、微分方程数值解、微分方程数值解法、截断误差与算法精度的阶、线性多步法等基本概念;

掌握Euler法的截断误差及Euler法的稳定性的分析方法,预估-校正法的构造方法,Milne方法和Hmaming方法的计算,求解微分方程的Adams法和Runge-Kutta法;

(3)重点与难点

重点:微分方程数值解法、截断误差与算法精度的阶、Euler方法及改进方法、线性多步法、Adams法、Runge-Kutta法

难点:截断误差与算法精度的阶、线性多步法、Runge-Kutta法的构造思想

第 8 章 层次分析法

(1)基本内容

层次分析法概述,层次分析法的基本步骤 ,层次分析法的广泛应用,层次分析法的若干问题。

 (2)目的和要求

了解层次分析法的概念,对比较矩阵的概念 

理解对比较矩阵的概念,权向量概念,组合权向量概念,正负反阵的相关性质

掌握层次分析法的层次结构,一致性检验,

熟练掌握层次分析法的基本步骤,正负反阵最大特征根和特征向量的实用算法

(3)重点与难点

重点:层次分析法的概念,层次分析法的基本步骤,对比较矩阵的概念,权向量,组合权向量

难点:层次分析法的层次结构,一致性检验 

第9章 长江水质的综合评价——综合评价方法及其应用

(1)基本内容

长江水质的综合评价问题,综合评价方法的基本概念,评价指标的规范化处理,水质综合评价模型,污染源的确定 。

 (2)目的和要求

了解综合评价模型的概念及构成综合评价问题的五个要素;

理解评价指标概念、权重系数概念、评价指标的规范化处理概念;

掌握综合评价方法建模的一般步骤,常见的综合评价方法;

熟练掌握评价指标类型的一致化处理方法、无量纲化处理方法

(3)重点与难点

重点:综合评价模型的概念,综合评价问题的五个要素,综合评价方法建模的一般步骤,评价指标的规范化处理方法。                                                               

难点:综合评价方法,评价指标的规范化处理。

第 10 章  预测模型及预测方法

(1)基本内容

统计预测的基本问题,趋势外推预测,时间序列的确定性因素分析,回归预测法,多元线性回归模型及其假定条件。

 (2)目的和要求

了解统计预测的概念和作用,统计预测方法的分类和选择,趋势外推法概念,回归预测法基本概念

理解统计预测的原则,参数估计和模型检验的必要性

掌握统计预测的步骤,趋势外推方法,回归预测法建模步骤

熟练掌握拟合优度计算,确定性因素分解,趋势分析,季节效应分析,参数估计和模型检验的方法

(3)重点与难点

   重点:统计预测的概念和作用,统计预测方法的分类和选择,统计预测的原则和步骤,趋势外推法概念,多项式曲线趋势外推法,指数曲线趋势外推法,生长曲线趋势外推法,曲线拟合优度计算,确定性因素分解,趋势分析,季节效应分析,回归预测法基本概念,建模步骤,估计参数,模型检验。

难点:拟合优度计算,确定性因素分解,趋势分析,季节效应分析,参数估计和模型检验的方法

第 11 章  案例分析讲座

第 12 章  课外实验项目资料

第 13 章  数学建模案例——课外自主学习资料

四、课程学时分配

知识模块顺序及对应的学时

章节

内 容

学 时

章节

内 容

学 时

1

科学计算与数学建模绪论

4

8

层次分析模型

4

2

城市供水量的预测——插值与拟合算法

8

9

长江水质的综合评价 ——综合评价方法及应用

4

3

湘江流量估计模型——数值积分法

6

10

统计预测方法及预测模型

6

4

养老保险问题——非线性方程求根的数值解法

4

11

数学建模案例分析——出版社的资源配置等

4

5

小行星轨道计算问题——线性代数方程组求解的直接解法

6

12

课外实验项目8个及相关资料

自主

学习

6

回归问题——线性代数方程组求解的迭代解法

6

13

数学建模案例——课外自主学习资料

自主

学习

7

常微分方程模型的数值解法简介

8

12

复习、讨论

2

13

考试

2

 

五、考核方式

  三部分构成课程结业成绩:笔试,数学建模报告,课堂讨论与学习状况。

六、制订执笔者:张鸿雁

  审核者(教研室主任或研究所所长):陈小松

批准者(教学院长):李俊平

                                                      2012年12月

附件:教学设计-教学大纲-更新-2013-03-23